设A,B为两随机事件,P(A)>0,P(B)>0,随机变量X,Y定义如下: 试证明:若ρXY=0,则X,Y必相互独立', "A.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=WD1cbGVmdFx7XGJlZ2lue2FycmF5fXtjfTEs6IulQeWPkeeUn1xcIDAs6IulQeS4jeWPkeeUnyAg%0D%0AXGVuZHthcnJheX0%3D'
B.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=WT1cbGVmdFx7XGJlZ2lue2FycmF5fXtjfTEs6IulQuWPkeeUn1xcIDAs6IulQuS4jeWPkeeUnyAg%0D%0AXGVuZHthcnJheX0%3D'", '分析:ρ
XY=0,说明X,Y不相关,一般地,不相关不一定独立。本题中,要证明X,Y相互独立,就是要从ρ
XY=0出发,推导出两个服从0-1分布的随机变量满足下列等式:
P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j), i,j=0,1
具体证明如下
由ρ
XY=0知σ
XY=0,从而EXY=EXEY。因为X,Y都服从0-1分布,XY也服从0-1分布,又根据0-1分布的期望和X,Y的定义有
EX=P(X=1)=P(A)
EY=P(Y=1)=P(B)
E(XY)=P(XY=1)=P({X=1}∩{Y+1})=P(X+1,Y+1)=P(AB)
由EXY=EXEY得出
P(x=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1), ①
即 P(AB)=P(A)P(B)
这说明事件A,B是相互独立的,由事件独立的性质知A与B,A与B,A与B都是相互的,因此有

由①~④式得出:对i=0,1,j=0,1有
P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)
这就证明了X与Y是相互独立的